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P(X = xₖ) = pₖ
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📖 公式详解
1️⃣ 离散随机变量
P(X = xₖ) = pₖ
取有限个或可数无限个值。
满足：pₖ ≥ 0，Σpₖ = 1。
满足：pₖ ≥ 0，Σpₖ = 1。
例：掷骰子，X=点数，P(X=k)=1/6
2️⃣ 连续随机变量
P(a < X < b) = ∫ₐᵇ f(x)dx
取连续区间上的值。
概率由 概率密度函数f(x) 的积分给出。
概率由 概率密度函数f(x) 的积分给出。
例：X~N(μ,σ²)，概率由正态分布密度函数积分
3️⃣ 概率质量函数（PMF）
p(x) = P(X = x)
离散随机变量的概率分布。
满足：p(x) ≥ 0，Σp(x) = 1。
满足：p(x) ≥ 0，Σp(x) = 1。
例：二项分布B(n,p)：p(k)=C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ
4️⃣ 概率密度函数（PDF）
P(a < X < b) = ∫ₐᵇ f(x)dx
连续随机变量的概率分布。
满足：f(x) ≥ 0，∫₋∞⁺∞ f(x)dx = 1。
满足：f(x) ≥ 0，∫₋∞⁺∞ f(x)dx = 1。
例：均匀分布U(a,b)：f(x)=1/(b-a)，a
5️⃣ 分布函数（CDF）
F(x) = P(X ≤ x)
随机变量X的取值 ≤ x的概率。
性质：单调不减，右连续，F(-∞)=0，F(+∞)=1。
性质：单调不减，右连续，F(-∞)=0，F(+∞)=1。
📝 更多重要公式
6️⃣ 期望（均值）
E(X) = Σ xₖpₖ (离散)
E(X) = ∫₋∞⁺∞ x f(x)dx (连续)
随机变量的平均值。
记作 μ 或 E(X)。
记作 μ 或 E(X)。
7️⃣ 方差
Var(X) = E[(X-μ)²]
Var(X) = E(X²) - [E(X)]²
随机变量偏离均值的程度。
记作 σ² 或 Var(X)。
记作 σ² 或 Var(X)。
8️⃣ 常见分布
二项分布：B(n,p)
泊松分布：P(λ)
正态分布：N(μ,σ²)
二项分布：n次伯努利试验。
泊松分布：单位时间内的随机事件数。
正态分布：自然和社会现象中最常见的分布。
泊松分布：单位时间内的随机事件数。
正态分布：自然和社会现象中最常见的分布。
✍️ 互动练习
题目 1: 掷骰子，X=点数，E(X) = ?
题目 2: 掷硬币3次，X=正面次数，X服从什么分布？
题目 3: 若X~N(0,1)，则E(X) = ?
题目 4: 若X~B(10,0.3)，则E(X) = ?