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P: "2 + 2 = 4" (真命题)
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📖 概念详解
1️⃣ 命题 (Proposition)
能判断真假的陈述句
命题 是一个能判断真假的陈述句。
命题分为 真命题（真值为真）和 假命题（真值为假）。
命题分为 真命题（真值为真）和 假命题（真值为假）。
例：P: "2 + 2 = 4"（真命题）
2️⃣ 逻辑连接词
¬P (非P)
P ∧ Q (P且Q)
P ∨ Q (P或Q)
P ⇒ Q (P推出Q)
¬：否定
∧：合取（且）
∨：析取（或）
⇒：蕴含（如果...则...）
∧：合取（且）
∨：析取（或）
⇒：蕴含（如果...则...）
3️⃣ 全称量词 (Universal Quantifier)
∀x ∈ A, P(x)
∀ 表示"对所有的"、"对任意的"。
∀x ∈ A, P(x) 表示"对集合 A 中的所有 x，P(x) 成立"。
∀x ∈ A, P(x) 表示"对集合 A 中的所有 x，P(x) 成立"。
例：∀x ∈ R, x² ≥ 0
4️⃣ 存在量词 (Existential Quantifier)
∃x ∈ A, P(x)
∃ 表示"存在"、"至少有一个"。
∃x ∈ A, P(x) 表示"在集合 A 中存在 x，使 P(x) 成立"。
∃x ∈ A, P(x) 表示"在集合 A 中存在 x，使 P(x) 成立"。
例：∃x ∈ R, x² = 2
5️⃣ 量词的否定
¬(∀x, P(x)) ⇔ ∃x, ¬P(x)
¬(∃x, P(x)) ⇔ ∀x, ¬P(x)
全称命题的否定 是存在命题。
存在命题的否定 是全称命题。
存在命题的否定 是全称命题。
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6️⃣ 真值表
P | ¬P
T | F
F | T
否定 的真值表：
P 为真时，¬P 为假；
P 为假时，¬P 为真。
P 为真时，¬P 为假；
P 为假时，¬P 为真。
7️⃣ 蕴含式
P ⇒ Q ⇔ ¬P ∨ Q
P ⇒ Q 为假 ⇔ P真Q假
蕴含式 只有在前件真、后件假时为假。
8️⃣ 量词的顺序
∀x∀y, P(x,y) ⇔ ∀y∀x, P(x,y)
∃x∃y, P(x,y) ⇔ ∃y∃x, P(x,y)
∀x∃y, P(x,y) ⇏ ∃y∀x, P(x,y)
同类量词可交换顺序，
异类量词不可交换顺序。
异类量词不可交换顺序。
✍️ 互动练习
题目 1: "2 + 2 = 5" 是真命题还是假命题？
题目 2: ¬(∀x, P(x)) 等价于？
题目 3: "∃x ∈ R, x² = -1" 的真假？
题目 4: P ⇒ Q 为假的条件是？