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📝 互动练习
问题 1: 已知向量 a = (3, -2)，b = (-1, 4)，则 a + b = ?
问题 2: 向量 a = (2, 3) 与 b = (4, 6) 的关系是?
问题 3: 已知 |a| = 3，|b| = 4，a·b = 6，则 a 与 b 的夹角 θ = ?
问题 4: 点 A(1, 2)，B(4, 6)，则向量 AB = ?
📐 核心公式与概念
1. 向量的定义
a = (x, y) 或 a = xi + yj
平面向量用有序数对 (x, y) 表示，也可以用基向量 i, j 的线性组合表示。
2. 向量的模
|a| = √(x² + y²)
向量的模（长度）等于分量平方和的平方根。
3. 向量加法
a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
对应分量相加。几何意义：平行四边形法则或三角形法则。
4. 向量减法
a - b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)
对应分量相减。几何意义：a - b = a + (-b)。
5. 数乘向量
λa = (λx, λy)
数乘向量等于每个分量乘以该数。λ > 0 时同向，λ < 0 时反向。
6. 数量积（点积）
a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ
数量积等于对应分量乘积之和，也等于模长乘积乘以夹角的余弦。
7. 向量的夹角
cosθ = (a·b) / (|a||b|)
两向量的夹角可以通过数量积和模长计算。
8. 两向量垂直的条件
a⊥b ⟺ a·b = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。