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y = aˣ ⟺ x = logₐ(y)
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📖 公式详解
1️⃣ 互逆关系定义
y = aˣ ⟺ x = logₐ(y)
如果 a > 0 且 a ≠ 1，那么：
指数函数：y = aˣ
对数函数：x = logₐ(y)
它们互为反函数。
指数函数：y = aˣ
对数函数：x = logₐ(y)
它们互为反函数。
例：2³ = 8 ⟺ log₂(8) = 3
2️⃣ 形式转换
aˣ = b ⟺ x = logₐ(b)
指数形式与对数形式可以互相转换。
例：10² = 100 ⟺ log₁₀(100) = 2
3️⃣ 反函数性质
logₐ(aˣ) = x
a^(logₐ(x)) = x
对数函数是指数函数的反函数，
所以它们复合后得到恒等函数。
所以它们复合后得到恒等函数。
例：log₂(2³) = 3, 2^(log₂(8)) = 8
4️⃣ 图像对称性
y = aˣ 与 y = logₐ(x) 关于 y = x 对称
反函数的图像关于直线 y = x 对称。
5️⃣ 常用对数与自然对数
lg(x) = log₁₀(x)
ln(x) = logₑ(x)
常用对数：以10为底
自然对数：以e为底（e ≈ 2.71828）
自然对数：以e为底（e ≈ 2.71828）
📝 更多重要公式
6️⃣ 指数与对数的转换公式
a^(logₐ(x)) = x (x > 0)
logₐ(aˣ) = x (x ∈ R)
这两个公式是指数与对数互逆关系的直接体现。
7️⃣ 换底公式的推导
设 y = logₐ(b)
则 aʸ = b
取以 c 为底的对数：log꜀(aʸ) = log꜀(b)
y·log꜀(a) = logꜘ(b)
y = logꜘ(b)/logꜘ(a)
换底公式可以通过指数与对数的互逆关系推导出来。
8️⃣ 指数增长与对数增长
指数增长：y = aˣ (a > 1)
对数增长：y = logₐ(x) (a > 1)
指数函数增长非常快，
对数函数增长非常慢。
对数函数增长非常慢。
✍️ 互动练习
题目 1: 2³ = 8 写成对数形式是？
题目 2: log₂(8) = ?
题目 3: log₃(27) = ?
题目 4: 10² = 100 写成对数形式是？