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📝 互动练习
问题 1: 函数 f(x) = x² - 4x + 3 的单调递增区间是？
问题 2: 函数 f(x) = x³ - 3x 的极值是？
问题 3: 函数 f(x) = x² 在 [-1, 2] 上的最大值是？
问题 4: 面积为定值的矩形，何时周长最小？
📐 核心公式与概念
1. 单调性判定
若 f'(x) > 0，则 f(x) 单调递增
若 f'(x) < 0，则 f(x) 单调递减
若 f'(x) < 0，则 f(x) 单调递减
导数的符号决定函数的单调性。f'(x) > 0 说明函数递增；f'(x) < 0 说明函数递减。
2. 极值判定（第一充分条件）
f'(x₀) = 0，且 f'(x) 在 x₀ 左右变号
→ x₀ 是极值点
→ x₀ 是极值点
若 f'(x) 在 x₀ 左侧为正、右侧为负，则 x₀ 是极大值点；反之则是极小值点。
3. 极值判定（第二充分条件）
f'(x₀) = 0 且 f''(x₀) ≠ 0
f''(x₀) < 0 → 极大值
f''(x₀) > 0 → 极小值
f''(x₀) < 0 → 极大值
f''(x₀) > 0 → 极小值
若二阶导数存在且不为零，可以通过二阶导数的符号判断极值类型。
4. 最值求法
[a,b] 上的最值：
比较 端点值 和 极值
比较 端点值 和 极值
闭区间上的连续函数，最值出现在端点或极值点处。需要比较 f(a), f(b) 和所有极值。
5. 导数的几何意义
f'(x₀) = 切线斜率
y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)
y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀)
导数表示函数曲线在某点处的切线斜率。可以用于求切线方程。
6. 优化问题步骤
1. 建立目标函数
2. 求导数，找临界点
3. 判断最值
2. 求导数，找临界点
3. 判断最值
实际应用问题通常通过建立函数模型，然后利用导数求最值来解决。
7. 常见优化模型
面积最大、周长最小
体积最大、表面积最小
成本最低、利润最高
体积最大、表面积最小
成本最低、利润最高
优化问题在实际中有广泛应用，如设计、经济、物理等领域。
8. 函数图像研究
用导数研究：
定义域、单调性、极值、凸性
定义域、单调性、极值、凸性
通过一阶和二阶导数，可以全面了解函数的性质和图像特征。