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(x - a)² + (y - b)² = r²
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📖 公式详解
1️⃣ 圆的标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r²
圆心为 (a, b)，半径为 r。
这是最常用的圆的方程形式。
这是最常用的圆的方程形式。
例：圆心(2,3)，半径4 ⇒ (x-2)²+(y-3)² = 16
2️⃣ 圆的一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0
通过配方可化为标准方程：
(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D²+E²-4F)/4
(x + D/2)² + (y + E/2)² = (D²+E²-4F)/4
例：x²+y²-4x-6y+9 = 0 ⇒ (x-2)²+(y-3)² = 4
3️⃣ 圆心角定理
圆心角的度数 = 所对弧的度数
圆心角是顶点在圆心的角。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆心角的度数等于它所对弧的度数。
例：弧AB = 60° ⇒ 圆心角AOB = 60°
4️⃣ 圆周角定理
圆周角的度数 = ½ × 所对弧的度数
圆周角是顶点在圆上的角。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
例：弧AB = 60° ⇒ 圆周角ACB = 30°
5️⃣ 弦长公式
L = 2√(r² - d²)
L 是弦长，r 是半径，d 是弦心距。
弦长 = 2 × √(半径² - 弦心距²)。
弦长 = 2 × √(半径² - 弦心距²)。
例：r=5, d=3 ⇒ L = 2√(25-9) = 8
📝 更多重要公式
6️⃣ 过圆上一点的切线方程
(x₀ - a)(x - a) + (y₀ - b)(y - b) = r²
圆 (x-a)²+(y-b)² = r² 上一点 P(x₀,y₀) 的切线方程。
7️⃣ 圆外一点到圆的切线长
L = √(d² - r²)
d 是圆外一点到圆心的距离，r 是半径。
切线长 = √(距离² - 半径²)。
切线长 = √(距离² - 半径²)。
8️⃣ 两圆位置关系
d > R+r: 外离；d = R+r: 外切
d 是圆心距，R, r 是两圆半径。
还有：|R-r| < d < R+r: 相交；d = |R-r|: 内切；d < |R-r|: 内含。
还有：|R-r| < d < R+r: 相交；d = |R-r|: 内切；d < |R-r|: 内含。
✍️ 互动练习
题目 1: 圆心(2,3)，半径4的圆的标准方程是？
题目 2: 圆 x²+y²-4x-6y+9=0 的圆心是？
题目 3: 弧AB = 80°，则圆周角ACB = ?°
题目 4: 圆半径5，弦心距3，则弦长 = ?