🎬 动画演示区
𝐯 = (v₁, v₂, v₃)
准备就绪 - 点击"播放动画"开始
👆 点击上方按钮选择要学习的主题
📖 公式详解
1️⃣ 向量定义
𝐯 = (v₁, v₂, v₃)
向量是有大小和方向的量。
分量形式：𝐯 = (v₁, v₂, v₃)
几何表示：从原点到点(v₁, v₂, v₃)的有向线段
分量形式：𝐯 = (v₁, v₂, v₃)
几何表示：从原点到点(v₁, v₂, v₃)的有向线段
例：𝐯 = (3, 4) 表示二维向量
2️⃣ 向量加法
𝐮 + 𝐯 = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)
对应分量相加。
例：(1,2)+(3,4)=(4,6)
3️⃣ 标量乘法
k𝐯 = (kv₁, kv₂, kv₃)
标量与向量相乘，每个分量乘以标量。
例：2×(1,2)=(2,4)
4️⃣ 点积（内积）
𝐮·𝐯 = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
𝐮·𝐯 = |𝐮||𝐯|cosθ
点积的结果是一个标量。
可用于计算夹角：cosθ = (𝐮·𝐯)/(|𝐮||𝐯|)
可用于计算夹角：cosθ = (𝐮·𝐯)/(|𝐮||𝐯|)
例：(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11
5️⃣ 叉积（外积，仅3D）
𝐮×𝐯 = (u₂v₃-u₃v₂, u₃v₁-u₁v₃, u₁v₂-u₂v₁)
叉积的结果是一个向量。
方向由右手定则确定。
大小：|𝐮×𝐯| = |𝐮||𝐯|sinθ
方向由右手定则确定。
大小：|𝐮×𝐯| = |𝐮||𝐯|sinθ
例：(1,0,0)×(0,1,0)=(0,0,1)
📝 更多重要公式
6️⃣ 向量长度（模）
|𝐯| = √(v₁² + v₂² + v₃²)
向量的长度（模）是各分量平方和的平方根。
例：|(3,4)| = √(9+16) = 5
7️⃣ 单位向量
𝐯̂ = 𝐯 / |𝐯|
单位向量是长度为1的向量，方向与𝐯相同。
例：(3,4)的单位向量=(3/5,4/5)
8️⃣ 向量投影
proj_𝐯𝐮 = (𝐮·𝐯/|𝐯|²) 𝐯
向量𝐮在向量𝐯上的投影。
✍️ 互动练习
题目 1: (1,2)+(3,4) = ? (格式：x,y)
题目 2: |(3,4)| = ?
题目 3: (1,2)·(3,4) = ?
题目 4: 2×(1,2) = ? (格式：x,y)