🎬 动画演示区
a = (x₁, y₁, z₁)
准备就绪 - 点击"播放动画"开始
👆 点击上方按钮选择要学习的空间向量法
📖 公式详解
1️⃣ 空间向量的坐标表示
a = (x₁, y₁, z₁)
空间向量 a 可以用坐标表示：a = (x₁, y₁, z₁)。
若 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂)，则向量 AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)。
若 A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂)，则向量 AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)。
例：A(1,2,3), B(4,5,6) ⇒ AB = (3,3,3)
2️⃣ 用向量法证明线面平行
l ∥ α ⟺ 方向向量 s ⊥ 法向量 n
直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n。
l ∥ α ⟺ s·n = 0 且直线上有一点不在平面内。
l ∥ α ⟺ s·n = 0 且直线上有一点不在平面内。
例：s = (1,2,3), n = (2,-1,0) ⇒ s·n = 0 ⇒ l ∥ α
3️⃣ 用向量法证明线面垂直
l ⊥ α ⟺ 方向向量 s ∥ 法向量 n
直线 l 的方向向量为 s，平面 α 的法向量为 n。
l ⊥ α ⟺ s ∥ n（存在 λ 使得 s = λn）。
l ⊥ α ⟺ s ∥ n（存在 λ 使得 s = λn）。
例：s = (1,2,3), n = (2,4,6) ⇒ s ∥ n ⇒ l ⊥ α
4️⃣ 用向量法求解线线角
cosθ = |a·b| / (|a||b|)
设两条直线的方向向量分别为 a 和 b，则它们的夹角 θ 满足：
cosθ = |a·b| / (|a||b|)。
cosθ = |a·b| / (|a||b|)。
例：a = (1,0,0), b = (0,1,0) ⇒ cosθ = 0 ⇒ θ = 90°
5️⃣ 用向量法求解线面角
sinθ = |s·n| / (|s||n|)
设直线的方向向量为 s，平面的法向量为 n，则直线与平面的夹角 θ 满足：
sinθ = |s·n| / (|s||n|)。
sinθ = |s·n| / (|s||n|)。
例：s = (1,0,0), n = (0,0,1) ⇒ sinθ = 0 ⇒ θ = 0°
📝 更多重要公式
6️⃣ 用向量法求解面面角
cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)
设两个平面的法向量分别为 n₁ 和 n₂，则它们的夹角 θ 满足：
cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)。
cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)。
7️⃣ 点到平面的距离
d = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)
点 P(x₀, y₀, z₀) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离公式。
8️⃣ 异面直线的距离
d = |(AB·(s₁×s₂))| / |s₁×s₂|
异面直线 l₁ 和 l₂，方向向量为 s₁ 和 s₂，取点 A∈l₁, B∈l₂，则距离 d 为上述公式。
✍️ 互动练习
题目 1: 向量 a = (1,2,3), b = (4,5,6)，求 a·b = ?
题目 2: 直线方向向量 s = (1,2,3)，平面法向量 n = (2,-1,0)，判断线面关系？
题目 3: 直线方向向量 s = (1,2,3)，平面法向量 n = (2,4,6)，判断线面关系？
题目 4: 向量 a = (1,0,0), b = (0,1,0)，求线线角 θ = ?